Question

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点E.
 
(1).求证:E为AB的中点;
(2).求线段FB的长.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查切割线定理、圆的几何性质等基础知识，意在考查考生的推理论证能力、数形结合能力．第一问，利用圆D、圆O的切线EA、EB，利用切割线定理，得到EA和EB的关系，解出EA=EB，所以E为AB的中点；第二问，由于BC为圆O的直径，得，用不同的方法求三角形BEC的面积，列成等式，得出BF的长.
试题解析：（1）由题意知，与圆和圆相切，切点分别为和，
由切割线定理有：所以，即为的中点.
5分
（2）由为圆的直径，易得，
∴，
∴∴.   10分