题目内容

两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧 $数学公式$ 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在 $数学公式$ 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧 $数学公式$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意得 $\text{[math]}$ ，
又∵当 $\text{[math]}$ 时，y=0.065，
∴k=9
∴ $\text{[math]}$ （7分）
（2） $\text{[math]}$ ，
令t=x²+320∈（320，720），
则 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，等号成立．（14分）
∴弧 $\text{[math]}$ 上存在一点，该点到城A的距离为 $\text{[math]}$ 时，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为0.0625．（16分）
分析：（1）根据“垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，”建立函数模型： $\text{[math]}$ ，再根据当 $\text{[math]}$ 时，y=0.065，求得参数k．
（2）总影响度最小，即为：求 $\text{[math]}$ 的最小值时的状态．令t=x²+320，将函数转化为： $\text{[math]}$ ，再用基本不等式求解．
点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，基本不等式法和转化思想的考查．

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