Question

（本题满分13分）已知平面上的动点及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是，，且·。（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知直线与曲线C交于M，N两点，且直线BM，BN的斜率都存在并满足·，求证：直线过原点。

Answer 1

(Ⅰ)（≠2）  (Ⅱ)  见解析

（1）由题意，·，（≠2），（2′）
即.所求P点轨迹C的方程为（≠2）（6′）
（2）设，，联立方程得，.（8′）所以，
所以.（10′）
又·即·.所以.
代入得，（11′）
所以即或.（13′）
当时，直线恒过原点；当时直线恒过（2，0）但不符合题意。
所以，直线恒过原点。（14′）