Question

如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第0行）为1，每一个数都等于脚下两数之和.

（1）试填写第1行和第2行，填法是否唯一，并说明理由.

（2）注意第n行（n=0,1,2,…）的第1个数为1n+1，猜想此时第n行第r个数（不证明）.

Answer 1

解析：（1）=1,(m,n∈N^*),则有,n与n-1互质，故m=2,n=2,第一行为,,令= (m,n∈N^*),

则有.

当n-2=1时，n=3,m=6;

当n-2=2时，n=4,m=4;

当n-2是n的约数时，记n=R(n-2)(R∈N^*),(R-1)n=2R,R与R-1互质，所以R-1=2，R=3，此时n=3,进而知m=6.故第二行填法不唯一，可为，，，也可为，，.

（2）猜想：令第3行第1个数为，则第3行各数依次为，，，.

第1行：;

第2行：;

第3行：；

……

第n行：…,.

∴猜想第n行第r个数为.