Question

设正项数列{a_n}的前n项之和S_n满足Sn=

1

2

(an+

n

an

)(n∈N*)
（1）求S_n；
（2）证明：

1

S 2 1

+

1

S 2 2

+…+

1

S 2 n

＜2．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，可得Sn2-Sn-12=n，再用叠加法，即可得到结论；
（2）利用裂项法，再用放缩法，可得结论．

解答：（1）解：当n=1时，S1=

1

2

(a1+

1

a1

)，
∵a₁＞0，∴a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，∴Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

n

Sn-Sn-1

)，
∴Sn2-Sn-12=n
∴Sn2=（Sn2-Sn-12）+（Sn-12-Sn-22）+…+（S22-S12）+S12=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

∵a_n＞0，S_n＞0，∴Sn=

n(n+1) 2

；
（2）证明：∵

1

Sn2

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴

1

S 2 1

+

1

S 2 2

+…+

1

S 2 n

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）＜2．

点评：本题考查数列递推式，考查叠加法、裂项法的运用，属于中档题．