Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足：，n∈N*，且a₁=2，a₂=4，
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N*，证明：{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N*，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由，可得，
又，
当n=1时，，由，可得；
当n=2时，，可得；
当n=3时，，可得。
（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，
，    ①
，    ②
， ③
②-③，得， ④
将④代入①，可得，
即，
又，
故，
因此，所以{c_n}是等比数列。
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，
于是，对任意k∈N*且k≥2，有

将以上各式相加，得，
即，
此式当k=1时也成立；
由④式得，
从而，
，
所以，对任意n∈N*，n≥2，






，
对于n=1，不等式显然成立。