题目内容

设函数f（x）=x-
2
x
-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
当a=3时，f′（x）=1+
2
x2
-
3
x
=
x2-3x+2
x2
=
(x-1)(x-2)
x2
，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=-1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=1+
2
x2
-
a
x
=
x2-ax+2
x2
，
令g（x）=x2-ax+2，其判别式△=a2-8，
①当|a|≤2
2
时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-2
2
时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2
2
时，△＞0，g（x）=0的两根为：x1=
a-
a2-8
2
，x2=
a+
a2-8
2
，且都大于0，
当0＜x＜x1或x＞x2时f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
a-
a2-8
2
）和（
a+
a2-8
2
，+∞）上递增，在（
a-
a2-8
2
，
a+
a2-8
2
）上递减，
综上，当a≤2
2
时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞2
2
时，f（x）在（0，
a-
a2-8
2
）和（
a+
a2-8
2
，+∞）上递增，在（
a-
a2-8
2
，
a+
a2-8
2
）上递减；
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网