Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）=x²﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．

Answer 1

解答：

解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．

∴f′（x）=3x²+2bx+c，

由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，

∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．

∴，即，解得b=c=﹣3．

故所求的解析式是f（x）=x³﹣3x²﹣3x+2．

（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，

∴方程x³﹣3x²﹣3x+2=x²﹣9x+a+2有三个根，

即=a有三个根，

令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．

接下来求h（x）的极大值与极小值，

∴h′（x）=3x²﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，

当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，

∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），

∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2

因此2＜a＜．