题目内容

已知复数z₁，z₂满足|z₁|=|z₂|=1，且 $数学公式$
（1）求|z₁-z₂|的值；
（2）求证： $数学公式$ ；

解：（1）由条件|z₁-z₂|= $\text{[math]}$ ，可记复数z的共轭复数为 $\text{[math]}$ ．
∵|z₁|=|z₂|=1．∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1．
又|z₁+z₂|= $\text{[math]}$ ，∴（z₁+z₂） $\text{[math]}$ =2．═＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2．
═＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0．
∴|z₁-z₂|²=（z₁-z₂） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2．
∴|z₁-z₂|= $\text{[math]}$
（2）∵|Z₁+Z₂|=|Z₁-Z₂|
∴|Z₁+Z₂|²=|Z₁-Z₂|²∴（z₁+z₂） $\text{[math]}$ =（z₁-z₂） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是纯虚数，∴ $\text{[math]}$
分析：（1）利用共轭复数与复数的模相等，|z|| $\text{[math]}$ |=z²= $\text{[math]}$ ，求出|z₁-z₂|²的值，进而确定|z₁-z₂|的值．
（2）利用（1）的（z₁+z₂） $\text{[math]}$ =（z₁-z₂） $\text{[math]}$ ，推出 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，确定 $\text{[math]}$ 是纯虚数，得到要证明的结论．
点评：本题考查复数求模，复数的基本概念，考查计算能力，是基础题，公式的灵活运用，是解好题目的关键．