Question

【题目】已知函数(，)，且的解集为；数列的前项和为，对任意，满足.

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）已知数列的前项和为，满足，，求数列的前项和；

（3）已知数列满足，若对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，（2），（3）或

【解析】

（1）利用不等式的解集与方程的关系,可求得函数的解析式,代入已知条件,可得,即可求得的值;根据即可求得数列的通项公式;

（2）利用递推公式,递推后作差可求得数列的通项公式.则数列为等差数列与等比数列乘积形式,结合错位相减法即可求得数列的前项和;

（3）代入数列的通项公式,可求得数列的通项公式.利用作差法可知数列的单调性,结合单调性求得的最大值.代入解析式即可得一元二次不等式,解不等式即可求得的取值范围.

（1）函数(,),且的解集为

可知,是方程的两根,

则,解得

所以

由,代入可得

当时,；

当时,,检验n=1时符合.

综上所述,,

（2）由,则,,

由

则

所以

当时,；

则,解得

则是以为首项,2为公比的等比数列,则,

由则①

②由①-②可得

则,

（3）由,则

当时,则

当时,,则

当时,,则

综上所述,的最大值为

由对恒成立,

则

解不等式可得或