Question

3．设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（2，+∞）上的解析式；
（2）在直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域及单调增区间．

Answer 1

分析 （1）设y=a（x-3）²+4，再把点A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a的值，可得此式函数的解析式．再根据函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，可得函数在R上的解析式．
（2）由函数的解析式作出函数f（x）的图象．
（3）由函数f（x）的图象，可得函数的值域及单调增区间．

解答 解：（1）∵当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，
可设y=a（x-3）²+4，再把点A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，∴y=-2（x-3）²+4（x＞2）．
∴由于函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，
故函数的解析式为 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，-2≤x≤2}\\{-2（x-3）^{2}+4，x＞2}\\{-2（x+3）^{2}，x＜-2}\end{array}\right.$．
（2）函数f（x）的图象如图所示：
（3）由图象可得，函数f（x）的值域为（-∞，4]，单调增区间为（-∞，-3]，[0，3]．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，偶函数的图象特征，求函数的值域及单调增区间，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．