Question

已知命题p：

x2

k

+

y2

4-k

=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k-1）x²+（k-3）y²=1表示双曲线．若p和q有且仅有一个正确，求k的取值范围．

Answer 1

分析：若 p正确q不正确，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，若 q正确p不正确∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，分别求出k的取值范围，再取
并集，即为所求．

解答：解：当p正确时，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．
当q正确时，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．
由题设，若p和q有且只有一个正确，则
（1）若 p正确q不正确，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，∴3＜k≤4．
（2）若 q正确p不正确∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，∴1＜k≤2．
∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，k的取值范围是k∈（1，2]∪（3，4]．

点评：本题考查椭圆和双曲线的标准方程，以及它们的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，得到
p正确q不正确时有

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，q正确p不正确时有

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，是解题的关键．