Question

设数列{a_n}的前n项和记为S_n且设数列{b_n}的前n项和为
（1）求a_n；
（2）求T_n；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，是否存在实数λ使得当x≤λ时，对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{a_n}的前n项和，利用公式，能求出a_n．
（2）由a_n=4n+2，数列{b_n}的前n项和为，知b_n==（），由此利用裂项求和法能求出T_n．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤对任意n∈N^*恒成立，由==4-是递增数列，能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和，
∴a₁=S₁=2+4=6，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+4n）-[2（n-1）²+4（n-1）]
=4n+2．
当n=1时，4n+2=6=a₁，
∴a_n=4n+2．
（2）∵a_n=4n+2，数列{b_n}的前n项和为，
∴b_n==（），
∴T_n=（1-++…+）
=（1-）
=．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤对任意n∈N^*恒成立，
∵a_n=4n+2，
∴==4-是递增数列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列不等式的应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法和等价转化思想的合理运用．