Question

已知二次函数f（x）=x²+ax（a∈R）
（1）若函数y=f(sinx+

3

cosx)(x∈R)的最大值为

16

3

，求f(x)的最小值；
（2）当a=2是，设n∈N*，S=

n

f(n)

+

n+1

f(n+1)

+…+

3n-1

f(3n-1)

+

3n

f(3n)

，求证：

3

4

＜S＜2．

Answer 1

分析：（1）令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，由于x∈R，可得t∈[-2，2]．于是y=f（t）=t²+at=(t+

a

2

)2-

a2

4

．①当a＜0时，t=-2，f（t）取得最大值4-2a=

16

3

，解得a，即可得到f（x），进而求出其最小值．②当a≥0时，t=2，同法①．
（2）当a=2时，S=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+2

=S（n），可证明S（n）单调递增，于是S（n）≥S（1），再利用放缩法可得S＜2．

解答：解：（1）令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，∵x∈R，∴t∈[-2，2]．
∴y=f（t）=t²+at=(t+

a

2

)2-

a2

4

．
①当a＜0时，t=-2，f（t）取得最大值4-2a=

16

3

，解得a=-

2

3

．
此时f（x）=(x-

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)min=-

1

9

．
②当a≥0时，t=2，f（t）取得最大值4+2a=

16

3

，解得a=

2

3

．
此时f（x）=(x+

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)min=-

1

9

．
综上所述：条件满足时，f（x）的最小值为-

1

9

．

(2)证明： S= n f(n) + n+1 f(n+1) +…+ 3n-1 f(3n-1) + 3n f(3n) = 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 3n+1 + 1 3n+2 ， 设S(n)= 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 3n+1 + 1 3n+2 ， 则S(n+1)= 1 n+3 + 1 n+4 +…+ 1 3n+4 + 1 3n+5 ， S(n+1)-S(n)= 1 3n+3 + 1 3n+4 + 1 3n+5 - 1 n+2 ＞ 3 3n+5 - 1 n+2 = 1 (3n+5)(n+2) ＞0.

∴S（n）在n∈N^*时单调递增，∴S=S（n）≥S（1）=

47

60

＞

45

60

=

3

4

．
又

1

n+2

＞

1

n+3

＞…＞

1

3n+1

＞

1

3n+2

．
∴S＜

2n+1

n+2

=2-

3

n+2

＜2．
综上可得：

3

4

＜S＜2．

点评：本题综合考查了三角函数的两角和正弦公式、二次函数的单调性、数列的单调性及其放缩法等基础知识与基本技能方法，属于难题．