Question

9．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
（1）甲得一本，乙得二本，丙得三本；
（2）平均分成三堆；
（3）甲、乙、丙每人至少得一本．

Answer 1

分析 （1）6本不同根据乘法原理得出甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法种数即可；
（2）平均分成三份，每份2本，这是平均分组问题．
（3）分为3类：411，321，222，利用排列组合知识，即可得出结论．

解答 解：（1）分成三堆的方法有$C_6^1$$C_5^2$$C_3^3$种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为$C_6^1$$C_5^2$$C_3^3$=60 种．
（2）6本不同的书平均分成三堆，有$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{2}}{3!}$=15种分堆方法．
（3）共计分为3类：①按照4、1、1分，共有${C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{1}{•C}_{4}^{4}$•3=90；②按照3、2、1分，共有${C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{2}{•C}_{3}^{3}$•${A}_{3}^{3}$=360种；
③按照2、2、2分，共有${C}_{6}^{2}$•${C}_{4}^{2}$•${C}_{2}^{2}$=90种，
故共有90+360+90=540种．

点评 本题考查排列、组合的实际应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键，属于中档题．