Question

直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．

(1) 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；

(2) 当最小时，求直线l的方程．

Answer 1

解：(1) 如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＋＝1，

由直线通过点(2，1)，得＋＝1，

所以＝＝.

因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得

S＝×b＝×b＝＝b＋1＋

＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.

当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＋＝1.

即直线l的方程为x＋2y－4＝0.

(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，

所以＝

当θ＝45°时有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.