题目内容
已知曲线f（x）=x3-3x
（1）求曲线f（x）在点M（2，2）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
（1）求曲线f（x）在点M（2，2）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（1）先求导数f'（x）=3x2-3，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）令f'（x）=3x2-3＞0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）令f'（x）=3x2-3＞0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．
解答：解：（1）f'（x）=3x2-3，f'（2）=9，f（2）=23-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）令f'（x）=3x2-3＞0，解得x＞1或x＜-1，∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
同理可得，函数的单调减区间为（-1，1）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）令f'（x）=3x2-3＞0，解得x＞1或x＜-1，∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
同理可得，函数的单调减区间为（-1，1）
点评：本题以三次函数为载体，主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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