题目内容

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；
（2）当函数f（x）在[ $数学公式$ ，2]上单调时，求a的取值范围．

解：（1）∵f′（x）=-2x+a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x＞0），
∴f（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂．（3分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a＞2 $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a＞2 $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a- $\text{[math]}$ ，令g（x）=2x+ $\text{[math]}$ （x＞0），
则g′（x）=2- $\text{[math]}$ ，由g′（x）＜0结合题意得：g（x）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上递减，
由g′（x）＞0结合题意得：g（x）在（ $\text{[math]}$ ，2]上递增．（8分）
又g（ $\text{[math]}$ ）=3，g（2）= $\text{[math]}$ ，g（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
∴g（x）_max= $\text{[math]}$ ，g（x）_min=2 $\text{[math]}$ ．（10分）
若f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥ $\text{[math]}$ ．
若f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]上单调时，则a≤2 $\text{[math]}$ 或a≥ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）f′（x）=-2x+a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x＞0），由题意可得f（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂；于是由 $\text{[math]}$ 即可求得a的取值范围；
（2）f′（x）=-2x+a- $\text{[math]}$ ，令g（x）=2x+ $\text{[math]}$ ，结合题意可得g（x）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上递减，g（x）在（ $\text{[math]}$ ，2]上递增；从而可求得当x∈[ $\text{[math]}$ ，2]时，g（x）_max= $\text{[math]}$ ，g（x）_min=2 $\text{[math]}$ ．于是得，若f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]单调递增，f′（x）≥0即a≥g（x），从而求得a的取值范围；同理可求，若f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]单调递减时a的取值范围．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查构造函数的思想，转化与分类讨论的思想，考查恒成立问题，综合性强，难度大，属于难题．