Question

我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．

 

Answer 1

【答案】

猜测两直线斜率之积为或；

【解析】试题分析：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，

由于两线垂直，我们知道斜率之积为；

对于方程，若，

则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为或；

证明：设椭圆的一条非过原点的弦为，其两端点的坐标分别为，

中点为，则

，即两斜率之积为．

考点：类比推理、点差法解决椭圆与直线的中点弦问题。

点评：根据圆是长轴和短轴相等的椭圆，在圆中两线斜率之积为，猜测在椭圆中两斜率之积为或，然后证明，证明时注意点差法的应用。