Question

【题目】设正项等差数列的前n项和为，已知且成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和；

（3）设数列满足求证：

Answer 1

【答案】(1) (2) 数列的前n项和为 (3)证明见解析.

【解析】

(1)等差数列的首项为，公差为，由条件可得，，即，两式联立可得：，或，经检验满足条件.

(2)设,可得当时，，当时，，则当时，，当时，，分情况求和即可.
(3) 由（1）有，由有，则则或,若则不等式显然成立. 若,则，由裂项相消法求和可证明.

(1)等差数列的首项为，公差为，

由有，即…… ①

由成等比数列，有，即……②

将①代入②得：

即解得：，或.

当时，与题目矛盾，舍去.

当时，，满足条件，此时

(2)设，

当时，，即

当时，，即

设数列的前n项和为

所以当时，

当时，

所以数列的前n项和为

(3)由（1）有

由有，所以

则或

若则不等式显然成立.

若，

则

即所以

则

综上所以成立.