Question

若正整数数列1，2，3，…，2ⁿ（n∈N^*）中各项的最大奇数因子的和为a_n﹒求证：

n

i=1

1

aiai+1

＜

3

20

.

Answer 1

分析：先看奇数2k+1的最大奇数因子是2k+1；形如2^k（k∈N）的数的最大奇数因子是1，根据1，2，3，，2ⁿ，，2ⁿ⁺¹中各项的最大奇数因子之和为a_n+1，进而表示出a_n+1，然后用分组求和的方法求得a_n的表达式，代入

1

aiai+1

，分析推断

1

aiai+1

=

9

(4i+2)(4i+1+2)

＜

9

4i4i+1

=

9

42i+1

，代入

n

i=1

1

aiai+1

即可证明原式．

解答：证明：显然，a₁=2
下面考虑a_n与a_n+1的关系．
奇数2k+1的最大奇数因子是2k+1；形如2^k（k∈N）的数的最大奇数因子是1．．
由于1，2，3，，2ⁿ，，2ⁿ⁺¹中各项的最大奇数因子之和为a_n+1，则a_n+1=1+3+5++（2ⁿ⁺¹-1）+a'_n，其中a'_n是数列2，4，6，，2ⁿ⁺¹中各项最大奇数因子之和，它等于1，2，3，，2ⁿ中各项的最大奇数因子之和．所以有a_n+1=1+3+5+…+（2ⁿ⁺¹-1）+a_n?a_n+1-a_n=4ⁿ．
因此，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+4+42++4n-1=

4n+2

3

，．
从而

1

aiai+1

=

9

(4i+2)(4i+1+2)

＜

9

4i4i+1

=

9

42i+1

，．
故，

n

i=1

1

aiai+1

＜

n

i=1

9

42i+1

=

3

20

[1-(

1

16

)n]＜

3

20

．

点评：本题主要考查了等差数列的 求和问题．涉及了不等式的问题，综合性强．