Question

已知实数q≠0，数列{a_n}的前n项和S_n，a₁≠0，对于任意正整数m，n且m＞n，S_n-S_m=q^mS_n-m恒成立．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，S_i，S_j，S_k按一定顺序排列成等差数列，求q的值．

Answer 1

分析：（1）令n=m+1，则由题意可得 S_m+1-S_m=q^m•S₁，即 a_m+1=a₁•q^m，可得 

am+1

am

=q，故有

an+1

an

=q（常数），可得数列{a_n}是等比数列．
（2）不妨设i，i+3，i+6，分S_i，S_i+3，S_i+6成等差数列、S_i+3，S_i，S_i+6成等差数列、S_i+3，S_i+6，S_i成等差数列这三种情况，分别求出公比q的值．

解答：解：（1）令n=m+1，则由题意可得 S_m+1-S_m=q^m•S₁，即 a_m+1=a₁•q^m，
故有 a_m=a₁•q^m-1，∴

am+1

am

=q，∴

an+1

an

=q（常数），
所以数列{a_n}是等比数列，
（2）不妨设公差为3的等差数列为 i，i+3，i+6，若S_i，S_i+3，S_i+6成等差数列，
则 a_i+1+a_i+2+a_i+3=a_i+4+a_i+5+a_i+6=（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³，
即 1=q³，解得 q=1．
若S_i+3，S_i，S_i+6成等差数列，则-（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）=（ a_i+1+a_i+2+a_i+3+a_i+4+a_i+5+a_i+6 ），
∴2（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）+（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³=0，即 2+q³=0，解得 q=-

3	2

．
若S_i+3，S_i+6，S_i成等差数列，则有 （ a_i+4+a_i+5+a_i+6）=-（ a_i+1+a_i+2+a_i+3+a_i+4+a_i+5+a_i+6 ），
∴2（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³+（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）=0，∴2q³+1=0，解得q=-

1

3 2

．
综上可得，q的值等于1，或等于-

3	2

，或等于-

1

3 2

．

点评：本题主要考查等比关系的确定，等差数列的定义和性质，根据数列的递推关系求通项，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．