题目内容

设{an}（n∈N*）为等差数列，则使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是______．
{an}（n∈N*）为等差数列，因为|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，
∴{an}中的项一定满足
an＞0
an-1＜0
或
an＜0
an-1＞0
，
且项数n为偶数，设n=2k，k∈N*，等差数列的公差为d，首项为a1，不妨设
ak+1＞0
ak＜0
，
则a1＜0，d＞0，且ak+3＜0，由
ak+1＞0
ak+3＜0
可得d＞3，
∴|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+ak+2+…+a2k=-2（a1+a2+…+ak）+（a1+a2+…+ak+ak+1+ak+2+…+a2k）
=-2[ka1+
k(k+1)
2
d]+2ka1+
2k(2k+1)
2
d=k2d=2010，
∵d＞3，
∴k2d=2010＞3k2，解得k2＜670，而k∈N*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是50．
故答案为：50．
练习册系列答案
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设{an}，{bn}是两个数列，M（1，2），An(2，an)，Bn(
n-1
n
，
2
n
)为直角坐标平面上的点．对n∈N*，若三点M，An，B共线，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：log2cn=
a1b1+a2b2+…+anbn
a1+a2+…+an
，其中{cn}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P1（1，b1），P2（2，b2），…Pn（n，bn）在同一条直线上；
（3）记数列{an}、{bn}的前m项和分别为Am和Bm，对任意自然数n，是否总存在与n相关的自然数m，使得anBm=bnAm？若存在，求出m与n的关系，若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=2x3-2x2+x+
1
2
．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）设a1=0，an+1=
1
2
f(an) （n∈N+），b1=
1
2
，bn+1=
1
2
f(bn) （n∈N+）．
①用数学归纳法证明：0＜an＜bn＜
1
2
（n＞1，n∈N）；
②证明：bn+1-an+1＜
bn-an
2
 （n∈N）．
数列{an}满足a1=2，an+1=
2n+1an
(n+
1
2
)an+2n
(n∈N*)．
（1）设bn=
2n
an
，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=
1
n(n+1)an+1
，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：
5
16
≤Sn＜
1
2
．
（2012•扬州模拟）已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，首项a1=1．
（Ⅰ）若
S1
+
S3
=2
S2
，求S5；
（Ⅱ）若数列{an}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②
Sm
+
Sp
=2
Sn
，求数列的通项an；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{an}，设bn=3•(
1
2
)an（n∈N*），集合Tn={bi•bj|1≤i≤j≤n，i，j∈N*}，记集合Tn中所有元素之和Bn，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式
1
bnBn-k
+
1
k-bn+1Bn+1
＞0成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=
1
2
．
（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)
 (n∈N+)
，求证：a1+a2+…+an＜2；
（3）设bn=
nf(n+1)
f(n)
 &(n∈N+)，Sn=b1
+b2+…+bn，求
lim
n→∞
(
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
)．

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