题目内容
（2012•扬州模拟）已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，首项a1=1．
（Ⅰ）若
+
=2
，求S5；
（Ⅱ）若数列{an}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②
+
=2
，求数列的通项an；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{an}，设bn=3•(
)an（n∈N*），集合Tn={bi•bj|1≤i≤j≤n，i，j∈N*}，记集合Tn中所有元素之和Bn，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式
+
＞0成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）若
| S1 |
| S3 |
| S2 |
（Ⅱ）若数列{an}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②
| Sm |
| Sp |
| Sn |
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{an}，设bn=3•(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| bnBn-k |
| 1 |
| k-bn+1Bn+1 |
分析：（Ⅰ）由等差数列性质，知S3=a1+a2+a3=3a2，由
+
=2
和首项a1=1，得2
=3+a2，由此能求出S5．
（Ⅱ）设Sn=An2+Bn，由
+
=2
，导出2
=2Amp+B(m+p)，由此入手，能够求出an．
（Ⅲ）由bn=3•(
)2n-1=6•(
)n，知Bn=36[(
)2+(
)3+…+(
)2n]=3[1-(
)2n-1]．由此入手，能够推导出存在正整数n、k使不等式成立，并能求出所有n和k的值．
| S1 |
| S3 |
| S2 |
| 3a2 |
（Ⅱ）设Sn=An2+Bn，由
| Sm |
| Sp |
| Sn |
| SmSp |
（Ⅲ）由bn=3•(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）∵等差数列，∴S3=a1+a2+a3=3a2，
又∵
+
=2
，∴S1+S3+2
=4S2，
∵S1=a1=1，∴2
=3+a2，
∴(
-
)2=0，
∴a2=3，则公差d=2，S5=25．
（Ⅱ）∵等差数列{an}，∴设Sn=An2+Bn，
∵
+
=2
，
∴Sm+Sp+2
=4Sn，
即A(m2+p2)+B(m+p)+2
=4(An2+Bn)=A（m+p）2+2B（m+p），
∴2
=2Amp+B(m+p)，
两边平方得，4（Am2+Bm）（Ap2+Bp）=4A2m2p2+4ABmp（m+p）+B2（m+p）2，
∴4B2mp=B2（m+p）2，
即B2（m-p）2=0，∵m≠p，∴B=0，又a1=S1=1，∴A=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，a1=1适合，∴an=2n-1．
（Ⅲ）bn=3•(
)2n-1=6•(
)n，
则bi•bj=36(
)i+j(2≤i+j≤2n)，
∴Bn=36[(
)2+(
)3+…+(
)2n]=3[1-(
)2n-1]．
∵bnBn=18(
)n[1-(
)2n-1]，bn+1Bn+1-bnBn=18(
)n+1[1-(
)2n+1]-18(
)n[1-(
)2n-1]=18(
)n+1[-3+
(
)2n-1]，
∵
(
)2n-1≤
×
＜2，
∴bn+1Bn+1-bnBn＜0，∴数列{bnBn}是递减数列，
由已知不等式得，
＞0，∵bn+1Bn+1-bnBn＜0，
∴bn+1Bn+1＜k＜bnBn．
又b1B1=18×(
)×(1-
)=
，b2B2=18×(
)2×[1-(
)3]=
，b3B3=18×(
)3×[1-(
)5]＜18×(
)3＜1，∴当n≥3时，bnBn＜1，
∴当n=1时，k=2或3；当n=2时，k=1，
故存在正整数n、k使不等式成立，所有n和k的值为：n=1，k=2或3；n=2，k=1．
又∵
| S1 |
| S3 |
| S2 |
| S1S3 |
∵S1=a1=1，∴2
| 3a2 |
∴(
| a2 |
| 3 |
∴a2=3，则公差d=2，S5=25．
（Ⅱ）∵等差数列{an}，∴设Sn=An2+Bn，
∵
| Sm |
| Sp |
| Sn |
∴Sm+Sp+2
| Sm•Sp |
即A(m2+p2)+B(m+p)+2
| Sm•Sp |
∴2
| SmSp |
两边平方得，4（Am2+Bm）（Ap2+Bp）=4A2m2p2+4ABmp（m+p）+B2（m+p）2，
∴4B2mp=B2（m+p）2，
即B2（m-p）2=0，∵m≠p，∴B=0，又a1=S1=1，∴A=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，a1=1适合，∴an=2n-1．
（Ⅲ）bn=3•(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
则bi•bj=36(
| 1 |
| 4 |
∴Bn=36[(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∵bnBn=18(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 65 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
∵
| 65 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
| 65 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
∴bn+1Bn+1-bnBn＜0，∴数列{bnBn}是递减数列，
由已知不等式得，
| bnBn-bn+1Bn+1 |
| (bnBn-k)(k-bn+1Bn+1) |
∴bn+1Bn+1＜k＜bnBn．
又b1B1=18×(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 27 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 567 |
| 520 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴当n=1时，k=2或3；当n=2时，k=1，
故存在正整数n、k使不等式成立，所有n和k的值为：n=1，k=2或3；n=2，k=1．
点评：本题考查数列的前n项和、数列的通项公式的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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