题目内容
（2013•南通一模）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
分析：（1）利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得DP的长度；
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即y=2(1-
)，1＜x＜2
（2）记△ADP的面积为S1，则S1=(1-
)(2-x)=3-(x+
)≤3-2
，
当且仅当x=
∈（1，2）时，S1取得最大值
故当薄板长为
米，宽为2-
米时，节能效果最好
（3）记凹多边形ACB'PD的面积为S2，则S2=
x(2-x)+(1-
)(2-x)=3-
(x2+
)，1＜x＜2，
于是S2′=
，∴x=
，
关于x的函数S2在（1，
）上递增，在（
，2）上递减．
所以当x=
时，S2取得最大值
故当薄板长为
米，宽为2-
米时，制冷效果最好
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即y=2(1-
| 1 |
| x |
（2）记△ADP的面积为S1，则S1=(1-
| 1 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
当且仅当x=
| 2 |
故当薄板长为
| 2 |
| 2 |
（3）记凹多边形ACB'PD的面积为S2，则S2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| x |
于是S2′=
| -x3+2 |
| x2 |
| 3 | 2 |
关于x的函数S2在（1，
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
所以当x=
| 3 | 2 |
故当薄板长为
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．
练习册系列答案
相关题目