Question

（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，已知AB＝a，AC＝2，AA₁＝1，点D在棱B₁C₁上，且B₁D∶DC₁＝1∶3．

（Ⅰ）证明：BD⊥A₁C；

（Ⅱ）若二面角B-A₁D-B₁的大小为60??，试求a的值．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)   

解析:

分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则．

由，得．

由，得．

……………………4分

（Ⅰ）证明：因，

故，即．……………………7分

（Ⅱ）平面的法向量，……………………8分

设平面的法向量为，

则．而，

于是有，解得故．………………12分

由题意知，于是有．………………15分