题目内容

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+ $数学公式$ ，满足 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的最大值及此时x取值的集合；
（2）求f（x）的增区间．

解：（1）由f（x）=cosx（asinx-cosx）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2x-cos2x，且满足 $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）=-1，解得a=2 $\text{[math]}$ ．
从而得到 f（x）= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
当2x- $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z 时，sin（2x- $\text{[math]}$ ）=1．
故f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）的最大值为2，且取最大值时，x的集合为 {x|x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z}．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin2x-cos2x，由 $\text{[math]}$ 解得a的值，即得f（x）=
2sin（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得f（x）的最大值及取最大值时x的集合．
（2）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．