Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．

(1)当x=2时，求证：BD⊥EG；

(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小．

 

Answer 1

(1)证明：过D作DH⊥EF于H，连BH、HG，则四边形BGHE为正方形，BH⊥EG，∴BD⊥EG； 

(2)解：f(x)=V_D-FBG=S_△BGF·DH=x(4-x)≤

当且仅当x=2时取等号，所以f(x)的最大值为 

(3)解：过H作HM⊥BF于M，连DM，则∠DMH为二面角D-BF-C的平面角的补角

在△DHM中，DH=2，HM=，∴∠DHM=arctan

所求二面角D-BF-C的大小为π-arctan.