题目内容
在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知c=2，C=
，若sinB=2sinA，求a、b、A、B及△ABC的面积．
| π | 3 |
分析：由正弦定理
=
=2R，可将已知sinB=2sinA转化为b=2a，再利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC可求得a、b、A、B，继而可求△ABC的面积．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
解答：解：∵在△ABC中，sinB=2sinA，
∴由正弦定理
=
得：
=
=2，
∴b=2a；
又c=2，C=
，
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：
4=a2+4a2-2a•（2a）cos
=5a2-2a2=3a2，
∴a=
=
；
∴b=
；
由正弦定理
=
得：sinA=
=
=
，a＜b，
∴A=
，B=π-
-
=
；
∴S△ABC=
absinC=
×
×
×
=
．
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| sinB |
| sinA |
| b |
| a |
∴b=2a；
又c=2，C=
| π |
| 3 |
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：
4=a2+4a2-2a•（2a）cos
| π |
| 3 |
∴a=
| 2 | ||
|
2
| ||
| 3 |
∴b=
4
| ||
| 3 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| asinC |
| c |
| ||||||||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，求得a是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．
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