题目内容

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

解：（Ⅰ）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx，可知，函数定义域为{x|x＞0}，
且f′（x）=2x-（a+2）+ $\text{[math]}$ ．由题意，f′（2）=4-（a+2）+ $\text{[math]}$ =1，
解得a=2．…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=2x-（a+2）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x＞0）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂= $\text{[math]}$ ．
（1）当a≤0时， $\text{[math]}$ ≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；
令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（2）当0＜ $\text{[math]}$ ＜2，即0＜a＜2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜ $\text{[math]}$ 或x＞1．
则函数f（x）的单调递增区间为（0， $\text{[math]}$ ），（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得 $\text{[math]}$ ＜x＜1．
则函数f（x）的单调递减区间为（ $\text{[math]}$ ，1）．
（3）当 $\text{[math]}$ =1，即a=2时，f′（x）≥0恒成立，则函数
f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
（4）当 $\text{[math]}$ ＞1，即a＞2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞ $\text{[math]}$ ，
则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（ $\text{[math]}$ ，+∞）．
令f′（x）＜0，得1＜x＜ $\text{[math]}$ ．
则函数f（x）的单调递减区间为（1， $\text{[math]}$ ）．…（13分）
分析：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率k，结合已知可求a
（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数f′（x）的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当0＜a＜2时，（3）当a=2时，（4）当a＞2时四种情况分别求解．
点评：本题主要考查了函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，体现了分类讨论思想的应用．