Question

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

．
（1）求a_n与b_n；
（2）证明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用b₂+S₂=12和数列{b_n}的公比q=

S2

b2

，即可列出方程组求的q、a₂的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用叠加法即可获得问题的解答．

解答：（1）解：由已知等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

．
∴q+3+a₂=12，q=

3+a2

q

∴q=3或q=-4（舍去），∴a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；
（2）证明：∵S_n=

n(3+3n)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

3

(1-

1

n+1

)
∵n≥1，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

∴

1

3

≤

2

3

(1-

1

n+1

)＜

2

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

点评：本题考查数列通项的求法与不等式的综合问题，解题的关键是确定数列的通项，利用叠加法求数列的和．