Question

已知数列{a_n}的首项a₁=3,通项a_n与前n项和S_n之间满足2a_n=S_n·S_n-1(n≥2)，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

思路分析：利用a_n和S_n之间的关系，首先将a_n换成S_n-S_n-1,这样便得到2(S_n-S_n-1)=S_n·S_n-1,经变形可得-=,即-=-.这样{}构成等差数列，通过求出S_n，可求出a_n.

解：由于a_n=S_n-S_n-1(n≥2),∴2(S_n-S_n-1)=S_n·S_n-1(n≥2).∴-=-.

∴数列{}是以为首项，以-为公差的等差数列.

    于是=-(n-1)=,∴S_n=.

    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=.

    当n=1时，a₁=3不适合上式.

∴a_n=