题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；且当x∈（-∞，0）时，f（x）＞0，回答下列问题：
（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由；
（3）若f(
1
5
)=
1
2
，试求f(
1
2
)-f(
1
11
)-f(
1
19
)的值．
（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．    …4
（2）任取x1，x2∈（-1，1）且设x1＜x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，则|x1x2|＜0∴1-x1x2＞0∴
x1-x2
1-x1x2
＜0
∴f(
x1-x2
1-x1x2
)＞0∴f(x1)＞f(x2)
∴函数在给定区间上递减．                …8
（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
∴f(
1
2
)-f(
1
5
)=f(
1
3
)，f(
1
3
)-f(
1
11
)=f(
1
4
)，f(
1
4
)-f(
1
19
)=f(
1
5
)
∴f(
1
2
)-f(
1
11
)-f(
1
19
)=2f(
1
5
)=1…12．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0．
已知函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x2-2x，求f（x）在（-1，1）上的解析式．
已知函数f(x)是定义在［-1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,＞0.

(1)证明f(x)在［-1，1］上是增函数；

（2）解不等式f(x+)＜f().

函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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