Question

设函数f（x）=x²+bx-1（b∈R）
（1）当b=1时证明：f（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点；
（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当b=1时，根据二次函数的性质易得f（x）在区间(

1

2

，1)内为增函数，进而根据f（

1

2

）•f（1）＜0，可得f（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点；
（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解，即b＜

2-x2

x

=

2

x

-x在[1，2]有解，结合g（x）=

2

x

-x在[1，2]为减函数，可得b＜g（x）_max，进而得到答案．

解答：证明：（1）当b=1时，
f（x）=x²+x-1在区间(

1

2

，1)内单调递增
又∵f（

1

2

）=-

1

4

＜0，f（1）=1＞0
即f（

1

2

）•f（1）＜0
∴f（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点；
（2）∵当x∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．
即x²+bx-1＜1在[1，2]有解
即b＜

2-x2

x

=

2

x

-x在[1，2]有解
∵g（x）=

2

x

-x在[1，2]为减函数
∴b＜g（x）_max=g（1）=1
∴实数b的取值范围为（-∞，1）

点评：本题考查的知识点是函数的零点，存在性问题，其中（1）的关键是分析出函数在区间(

1

2

，1)内为增函数及f（

1

2

）•f（1）＜0，（2）的关键是将存在性问题转化为最值问题．