题目内容
定义满足不等式|x-A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B 邻域．若a+b-t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为
．
| t 2 |
| 2 |
| t 2 |
| 2 |
分析：先根据条件求出-t＜x＜2（a+b）-t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．
解答：解：因为：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，
∴|x-（a+b-t）|＜a+b⇒-t＜x＜2（a+b）-t，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b-t=0⇒a+b=t．
又因为：a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．
所以：a2+b2≥
．
故答案为：
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∴|x-（a+b-t）|＜a+b⇒-t＜x＜2（a+b）-t，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b-t=0⇒a+b=t．
又因为：a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．
所以：a2+b2≥
| t 2 |
| 2 |
故答案为：
| t 2 |
| 2 |
点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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