Question

已知向量，函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果△ABC中，f（A）=，且角A所对的边a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵向量，
∴=sincos+cos²=sinx+（1+cosx）=sin（x+）+
即f（x）的表达式是y=sin（x+）+
令-+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z），可得-+2kπ≤x≤+2kπ，（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间是[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）
（2）∵f（A）=sin（A+）+=，
∴sin（A+）=，结合A为三角形内角可得A=
根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos=4
∴（b+c）²-4=3bc≤（b+c）²，可得（b+c）²≤4，即（b+c）²≤16
当且仅当b=c=2时，b+c的最大值为4
又∵b+c＞a=2，∴b+c∈（2，4]，
由此可得△ABC的周长l的取值范围是（4，6]．
分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合辅助角公式化简可得f（x）=sin（x+）+，结合正弦函数的图象与性质，即可得到求f（x）的单调递增区间；
（2）根据（1）的表达式结合f（A）=，算出A=，再由余弦定理给出a²=b²+c²-2bccos=4，结合基本不等式算出b+c的最大值，由此不难得到△ABC的周长l的取值范围．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的单调增区间，并依此求解三角形周长的取值范围，着重考查了三角恒等变换、解三角形、三角函数的图象与性质和基本不等式求最值等知识，属于基础题．