Question

已知向量，函数．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则建立f（x）的关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令这个角等于kπ，求出x的值，得到对称中心的横坐标，代入函数解析式得到对称中心的纵坐标，确定出对称中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把已知的b²=ac代入，化简后根据基本不等式可得cosx的范围，根据余弦函数的图象与性质可得x的范围，根据x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域可得函数的值域及此时x的范围．
解答：解：（1）f（x）=sincos+cos²
=sin+（1+cos）
=sin+cos+
=sin（+）+，
令sin（+）=0，即+=kπ（k∈Z），解得x=π（k∈Z），
则对称中心为（π，）（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，
∴根据余弦定理得：cosx==≥=，
∴≤cosx＜1，即0＜x≤，
∴＜+≤，
∵|-|＞|-|，
∴sin＜sin（）≤1，
∴＜sin（）+≤1+，
则x∈（0，]时，函数f（x）的值域为（，1+]．
点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，基本不等式及正弦函数的定义域及值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．