Question

函数f（x）=x²+|x-a|-1
（1）若a=0，则方程f（x）=0的解为________．
（2）若函数f（x）有两个零点，则a的取值范围是________．

Answer 1

解：（1）若a=0，则方程f（x）=0即 x²+|x|-1=0，解得|x|=．
∴x=，或 x=，
故答案为 x=，或 x=．
（2）由于f（x）=x²+|x-a|-1=0有两个零点，故函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点．
如图所示：
当-1≤a≤1 时，显然函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点．
当y=-|x-a|的图象（两条射线）与函数y=x²-1的图象相切时，
有 有唯一解，或 有唯一解．
故 x²+x-a-1=0 有唯一解，或 x²-x+a-1=0 有唯一解．
△₁=1+4a+4=0，或△₂=1-4a+4=0． 解得 a=-，或a=．
结合图象可得-＜a＜，
故答案为 （-， ）．
分析：（1）若a=0，解方程 x²+|x|-1=0，解得|x|的值，即可得到方程f（x）=0的解．
（2）由题意可得函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点，当-1≤a≤1 时，结合图象可得满足条件．
当当y=-|x-a|的图象（两条射线）与函数y=x²-1的图象相切时，求得a=-，或a=，结合图象可得a的取值范围．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，带有绝对值的函数，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．