题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2
3
，离心率为
3
3
，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．
：（1）由题意可得
2a=2
3
e=
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
，解得a=
3
，c=1，b=
2

所以椭圆E：
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=
a2
c
=3，
设P（3，y0），Q（x1，y1），
因为PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=
y0
2
•
y1
x1-1
=
y0y1
2(x1-1)
=-1，
所以-y1y0=2（x1-1）
又因为kPQ•kOQ=
y1
x1
•
y1-y0
x1-3
=
y21
-y1y0
x21
-3x1
且
y21
=2(1-
x21
3
)代入化简得kPQ•kOQ=-
2
3
．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-
2
3
．
（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-
2
3
，kOQ=
y1
x1
，
∴kPQ=-
2x1
3y1
．
∴直线PQ的方程为y-y1=-
2x1
3y1
(x-x1)，即y=-
2x1
3y1
x+
2
y1
，
联立
x2
3
+
y2
2
=1
y=-
2x1
3y1
x+
2
y1
得(3
y21
+2
x21
)x2-12x1x+18-9
y21
=0，
∵3
y21
+2
x21
=6，18-9
y21
=6
x21
．
∴化简得：x2-2x1x+
x21
=0，又△=0，
解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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