Question

（理科）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求直线AN与平面BB₁D₁D所成角的大小；
（2）求B₁到平面ANC的距离．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BB₁D₁D的一个法量，利用

AN

和此法向量夹角求解．向量知识求解．
（2）求出平面ANC的一个方法向量，B₁到平面ANC的距离等于

B1C

在此法向量方向上投影的绝对值．利用向量知识求解．

解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

则A（a，0，0），N（

a

2

，0，a），C（0，a，0），B₁ （a，a，a）
 

AN

=（-

a

2

，0，a），
（1）易知平面BB₁D₁D的一个法量

AC

=（-a，a，0）----2分

AN

=(-

a

2

，0，a)，----------------------------------2分
设直线AN与平面BB₁D₁D所成角为θ
cosφ=

n • AN

| n || AN |

=

10

10

------------------------------1分
sinθ=cosφ=

10

10

，θ=arcsin

10

10

直线AN与平面BB₁D₁D所成角为arcsin

10

10

-------1分
（2）设平面ANC的一个方法向量

n2

=(u，v，w)

n2 • AC =0 n2 • AN =0

⇒

v=u w= 1 2 u

，
取u=2，

n2

=(2，2，1)-----3分
所以d=

| B1C • n2 |

| n2 |

=

3a

3

-----------------------------2分
=a----------------------------------------2分

点评：本题考查空间直角和平面所成就的计算，点面距离求解，考查空间想象能力、计算能力．