题目内容

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF= $数学公式$ ．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

（本小题满分12分）
解：（1）在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2× $\text{[math]}$ =3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0， $\text{[math]}$ ，0），F（0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（-1， $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
平面ABD的法向量 $\text{[math]}$ ，设平面FBD的法向量 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
设二面角F-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜ $\text{[math]}$ ＞|=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．
故二面角F-BD-A的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
（3）设点A到平面FBD的距离为d，
∵ $\text{[math]}$ ，平面FBD的法向量 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．
（2）以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，由题设条件分别求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出二面角F-BD-A的余弦值．
（3）求出向量 $\text{[math]}$ 和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．
点评：本题考查异面直线垂直的证明、二面角的余弦值的求法、点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．