Question

【题目】已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2 ， l1⊥l2 ， 线段AF的垂直平分线与l2交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2 ， l1⊥l2 ， 线段AF的垂直平分线与l2交于点P， ∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，
∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设P（x0 ， y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），
直线PM的方程为：y﹣m= （x+1），
化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，
∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，
∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即 =1，
∴ = ，
由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，
同理，有 ，
∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，
∴m+n= ，mn= ，
∴|MN|=|m﹣n|= = ，
∵ ，|y0|=2 ，
∴|MN|= =2 ，
直线PF的斜率 ，则k=| |= ，
∴ = = ，
∵函数y=x﹣ 在（1，+∞）上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴0＜ ＜ ．
∴ 的取值范围是（0， ）
【解析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0 ， y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理， ，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出 的取值范围．