Question

已知数列中，，且（）。

（I）     求，的值及数列的通项公式；

（II）   （II）令，数列的前项和为，试比较与的大小；

（III）令，数列的前项和为，求证：对任意，都有。

 

Answer 1

【答案】

（I）解：当时，，（1分）

    当时，。（2分）

    因为，所以。（3分）

    当时，由累加法得，

    因为，所以时，有。

即。

又时，，

故。（5分）

（II）解：时，，则。

记函数，

所以。

则0。

所以。（7分）

由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，故时，，此时。

综上所述，当时，；当时，。（8分）

（III）证明：对于，有。

当时，。

所以当时，

。

且。

故对，得证。（10分）

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与求和的综合运用，以及数列与不等式的关系的运用。

（1）利用已知的递推关系得到数列的前几项的值，并整体变形构造等差数列求解通项公式。

（2）利用第一问的结论，结合分组求和的思想和等比数列的求和得到结论。

（3））先分析通项公式的特点，然后裂项求和，证明不等是的成立问题。