Question

11．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，M是BC边的中点，E，F分别是AB，CD上的点，且EF∥BC，设AE=x．如图，沿EF将四边形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EM；
（2）当x变化时，求四棱锥D-BCEF的体积f（x）的函数式．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥EF于H，连结BH，MH，EM，证明DH⊥平面EBCF．然后推出EM⊥平面BDH．即可证明EM⊥BD．（2）设DH=AE=x为四棱锥D-BCFE的高，求出底面面积然后求解体积的函数解析式．

解答 解析：（1）证明：如图，作DH⊥EF于H，连结BH，MH，EM，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF．

又EM?平面EBCF，∴EM⊥DH．∵$EH=AD=\frac{1}{2}BC$，EF∥BC，∠EBC=90°，
∴四边形BMHE为正方形，∴EM⊥BH．∴EM⊥平面BDH．
又BD?平面BDH，
∴EM⊥BD．…（6分）
（2）由（1）知，DH=AE=x为四棱锥D-BCFE的高，∵AE=x，∴BE=4-x，$EF=2+\frac{1}{2}x$，
∴$\begin{array}{c}{S}_{BCFE}=\frac{1}{2}（EF+BC）•BE=\frac{1}{2}（2+\frac{1}{2}x+4）•（4-x）\end{array}\right.$=$\begin{array}{c}\\-\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+12.\end{array}\right.$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{S_{BCFE}}•x=-\frac{1}{12}{x^3}-\frac{2}{3}{x^2}+4x$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．