Question

6．已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a．若a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$，则I一定是△ABC的（　　）

• A． 垂心
• B． 内心
• C． 外心
• D． 重心

Answer 1

分析 由条件利用平面向量基本定理及其几何意义，求得$\overrightarrow{AI}$=-$\frac{bc}{ab+c}$•（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），故点I在∠BAC的平分线上；同理可得点I在∠BCA的平分线上；再利用三角形的内心的性质，得出结论．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{IB}$=$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AC}$，
∴a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=a$\overrightarrow{IA}$+b（$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AB}$）+c（$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AC}$）=（a+b+c）$\overrightarrow{IA}$+b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴（a+b+c）$\overrightarrow{IA}$=-（b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$ ），
∴$\overrightarrow{IA}$=-（$\frac{-（b•\overrightarrow{AB}+c•\overrightarrow{AC}）}{a+b+c}$）=-（$\frac{b}{a+b+c}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$•$\overrightarrow{AC}$ ），
=-$\frac{1}{a+b+c}$（b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$ ）=-$\frac{1}{a+b+c}$（|$\overrightarrow{AC}$|•$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{AB}$|•$\overrightarrow{AC}$ ）=-$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）．
故 $\overrightarrow{IA}$在角A的平分线上，故点I在∠BAC的平分线上．
同理可证，点I在∠BCA的平分线上，故点I为△ABC的内心，
故选：B．

点评 本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，三角形的内心的性质，属于基础题．