Question

已知函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设x∈[-

π

3

， 

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用和差化积和二倍角公式化简整理求得函数的解析式，进而用三角函数的周期公式求得答案．
（Ⅱ）根据x的范围和正弦函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，即函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期为π．

（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
又f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈[-

3

， 2]，
f（x）的值域为[-

3

， 2]．

点评：本题主要考查了三角函数的周期及其求法．解题的关键对函数解析式化简整理，利用正弦或余弦的函数的基本性质求得答案．