Question

已知函数f（x）=x|x-a|．
（1）若a=-2，写出函数y=f（x）的单调减区间；
（2）若a=1，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的值；
（3）若-2≤x≤1时，-2≤f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的意义可得当a=-2时f（x）=

x2+2x  x≥-2 -x2-2x   x＜-2

再利用一元二次函数的单调性即可写出递减区间．
（2）根据零点的定义可得要使函数y=f（x）-m有两个零点即使f（x）-m=0有两个不同的实根即y=f（x）与y=m有两个不同的交点因此需做出f（x）的图象再利用数形结合的思想求解．
（3）由于f（x）的正负取决于x故可分0≤x≤1，-2≤x＜0两种情况，然后再结合一元二次函数的性质求出f（x）的最大最小值再令f（x）_max≤4且f（x）_min≥-2求出a的范围．

解答：解：（1）当a=-2时f（x）=

x2+2x  x≥-2 -x2-2x   x＜-2

故函数y=f（x）的单调减区间为[-2，-1]
（2）当a=1时f（x）=

x2-x      x≥1 -x2+x    x＜1

在直角坐标系中做出f（x）的图象（如下图）
要使函数y=f（x）-m有两个零点即使f（x）-m=0有两个不同的实根即y=f（x）与y=m有两个不同的交点
故m=0或

1

4

（3）当0≤x≤1时则f（x）≥0恒成立故要使-2≤x≤1时，-2≤f（x）≤4恒成立须有f（x）_max≤4即

f(1)≤4 f( a 2 )≤4

∴0≤a≤4
    当-2≤x＜0时则f（x）＜0恒成立故要使-2≤x≤1时，-2≤f（x）≤4恒成立须有f（x）_min≥-2即

f(-2)≥-2 f( a 2 )≥-2

∴-2

2

≤a≤-1
     综上：0≤a≤4或-2

2

≤a≤-1

点评：本题主要考查了函数单调性，零点的概念，以及恒成立的问题．解题的关键是第一问要根据绝对值的意义简化f（x）再利用一元二次函数的单调性求解．第二问要将a=1，函数y=f（x）-m有两个零点转化为y=f（x）与y=m有两个不同的交点然后利用数形结合的思想求解．而第三问要分析出-2≤x≤1时，-2≤f（x）≤4恒成立即f（x）_max≤4且f（x）_min≥-2而再求最大最小值时要利用一元二次函数的性质得出当0≤x≤1时f（x）的最大值要么在

a

2

要么在1取得，当-2≤x＜0时则f（x）的最小值要么在

a

2

要么在-2取得！