Question

解答题

设函数f(x)＝ax³－2bx²＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图象关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－，

(1)求a，b，c，d的值

(2)当x∈[－1，1]时，f(x)图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论

(3)若x₁，x₂∈[－1，1]时，求证|f(x₁)－f(x₂)|≤．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图象关于原点对称 　　∴f(x)为奇函数，ax3－2bx2＋cx＋4d＝ax3＋2bx2＋cx－4恒成立 　　∴b＝0，d＝0　　　　2分 　　∵x＝1时，f(x)取极小值－ 　　∴(1)＝0，f(1)＝－ 　　∴3a＋c＝0，a＋c＝－ 　　∴a＝，c＝－1 　　∴a＝，b＝0，c＝－1，d＝0　　　　4分 　　(2)解：由(1)有　　　6分 　　当x∈[－1，1]时，－1≤x2－1≤0，因而对x1，x2∈[－1，1]时，(x1)(x2)≥0　8分 　　∴当x∈[－1，1]时，f(x)图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直　10分 　　(3)解：由(2)有函数f(x)在[－1，1]上是减函数　　　12分 　　　　　14分