Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{x}，x＜0\\（a-3）x+4a，x≥0\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{4}}]$
• B． （0，1）
• C． $[{\frac{1}{4}，1}）$
• D． （0，3）

Answer 1

分析 根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a^x，0＜a＜1；对于（a-3）x+4a，a＜3，又a^x＞1，所以（a-3）x+4a的最大值满足小于等于1，而（a-3）x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到a≤$\frac{1}{4}$，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a的取值范围

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立；
∴f（x₁）-f（x₂）与x₁-x₂异号，
即x₁-x₂＜0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在R上是减函数；
∴x＜0时，f（x）=a^x，0＜a＜1；
x≥0时，f（x）=（a-3）x+4a，a-3＜0，a＜3，又a^x＞1，4a≤1，
∴a≤$\frac{1}{4}$；
又0＜a＜1，∴0＜a≤$\frac{1}{4}$；
∴a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．
故选：A．

点评 考查单调性的定义，分段函数的单调性，指数函数的单调性，一次函数的单调性，以及对于单调性定义的利用．