Question

（本题满分14分）已知函数 
（Ⅰ）设在区间的最小值为，求的表达式；
（Ⅱ）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。

Answer 1

(1) ；(2) ；

试题分析：(1)由于，当时，
（1分）
当时，在上为增函数，；（3分）
当时， ；（5分）
当时，在上为减函数，.（7分）
综上可得（8分）
(2) ，在区间[1,2]上任取、，且
则
      （*）（10分）
在上为增函数，
∴(*)可转化为对任意、
即   （12分） 
因为，所以 ，由得，解得；
所以实数的取值范围是                   （14分）
（2）另解： 
由于对勾函数在区间上递减，在区间上递增；
（10分）
∴当时，，由题应有       （12分）
当时为增函数满足条件。
故实数的取值范围是                                （14分）
点评：二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题，要考察区间与对称轴的相对位置关系，分类讨论常成为解题的通法．